Toutes les réponses sont intéressantes, en particulier celle de Maximilien, je n'aurais pas répondu mieux, si je me place dans le cadre formel des Mathématiques disponibles autour de l'an 2000. Mais je voudrais ajouter ma contribution à ces Mathématiques, on est en 2018 et il est tant de voir cette question sous un nouveau jour.

Effectivement, les Mathématiques jusqu'à aujourd'hui utilisent ce symbolisme et semblent consistantes autour de ces questions. “consistantes”, c'est à dire que de multiples façons d'arriver au même résultat sont disponibles et concordent. “semblent”, c'est à dire qu'il y a quand même un problème.

Le problème si situe autour de la somme infinie des nombres entiers, de multiples façons d'effectuer le calcul montrent que le résultat “fini” est -1/12. Donc ce résultat est bien consistant avec les Mathématiques actuelles.

Je ne vais pas rentrer ici dans la démonstration de l'erreur ni la démonstration rigoureuse d'une autre solution pour cette équation, mais je dirais juste que le problème se situe dans la notation.

Quand on pose 1/3 = 0.333… on crée un problème, et ce problème a pour conséquence que 0.999… = 1 et Σ (1..∞) n = -1/12. Le problème pourrait s'exprimer ainsi : “si mon écriture est infinie, alors je ne laisse rien de côté, il n'y a pas de reste”. Autrement dit : “il n'y a pas de dernier chiffre à ma notation qui est infinie”.

Démonstration que ces affirmations sont fausses : “si l’écriture d'un nombre est infinie, alors on ne peut pas écrire ce nombre, donc ce nombre n'existe pas en réalité”.

Démonstration de l'impossibilité d'écriture d'un nombre : si vous considérez la somme Σ (1..∞) 1/3.10^n = 0.333… et que vous pensez que ce nombre existe en réalité (parce que vous croyez avoir réussi à l'écrire), veuillez considérer cet autre nombre : Σ (1..∞) 3.10^n = …333 C'est un nombre infini qui prend des chiffres toujours plus grands vers la gauche.

Alors je vous demande : est-ce un nombre ? Ou bien une hallucination. Si cette notation ne se réfère à aucun nombre, alors que peut-on dire de la notation 0.333…, est-ce vraiment un nombre ? Les 2 notations sont pourtant équivalentes, donc concluons qu'accepter l'un implique d'accepter l'autre, et que donc puisque le nombre …333 n'existe pas, alors le nombre 0.333… n'existe pas non plus. Ainsi on a prouvé que 1/3 ne pouvait pas être associé à une valeur ayant une notation décimale.

Et que donc les Mathématiques de l'an 2000 sont fausses autour de ces questions.

1/3 existe, 0.333… n'existe pas, 0.999… non plus. CQFD